geometría ciclo 4.

colegio distrital Aquileo Parra   jornada n.
taller de geometría para ciclo 4.


Cordial saludo



1. Trace 2 cuadrados de 10 cm de lado.


2. En uno de ellos,(de los cuadrados), construye 16 cuadrados de
 6,25 cm cuadrados de área . es facil , ensaye ,trace y calcule el área para uno de ellos.(uno de los 16).



3. En el otro cuadrado construya 32 triángulos rectángulos ,cada uno con un area de 3,125 cm cuadrados.

Sustente su construcción con la multiplicación y la división adecuada a este ejercicio escrita en su cuaderno.

Colorea con la precisión debida.

Espero sigan muy bien de salud.

Geometría, ciclo 3.

COLEGIO DISTRITAL AQUILEO PARRA   J. N
GUIA DE GEOMETRÍA PARA CICLO 3.



Cordial saludo .


debe elaborar las siguientes figuras en su cuaderno.

a. 2 cuadrados de 8 centímetros de lado. en uno de ellos trace 16 cuadrados de 4 centimetros cuadrados de área; en el otro, 32 triángulos rectángulos de 2 centímetros cuadrados de area.

para ello, trace los cuadrados de 8 cm de lado y empiece a ensayar posibles divisiones que generen las 2 peticiones.

Recuerde que para hallar el área de un cuadrado se multiplica lado por lado.

y, para hallar el área de un triangulo rectángulo  se multiplican sus lados y, a ese resultado se divide por 2. la diagonal no se tiene en cuenta en este calculo.

Espero sigan muy bien de salud.

taller 2

COLEGIO DISTRITAL AQUILEO PARRA

JORNADA NOCTURNA

CICLO CUATRO

ÁREA DE MATEMÁTICAS

MANUEL CAITA

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.

Cuando realizamos las multiplicaciones:

a) 2x (x 2 – 3x + 2) = 2x 3 – 6x 2 + 4x

b) (x + 7)(x + 5) = x 2 + 12x + 35

Entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar,

es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.

La factorización es de extrema importancia en la Matemática, así es que debes tratar de entender lo más que puedas

sobre lo que vamos a trabajar.

Existen varios casos de factorización:

1. FACTOR COMÚN:

Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio:

Ejemplo N 1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ? Entre los coeficientes es el 6, o sea,

6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z )

Ejemplo N 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a 2 - 15ab - 10 ac

El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto

5a 2 - 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c

= 5a (a - 3b - 2c )

Ejemplo N 3 : ¿ Cuál es el factor común en

6x 2 y - 30xy 2 + 12x 2 y 2

El factor común es “ 6xy “ porque

6x 2 y - 30xy 2 + 12x 2 y 2 = 6xy(x - 5y + 2xy )

TALLER # 1

Halla el factor común de los siguientes polinomios:

a. 30x – 50v

b. 51x – 170v

c. 45x – 81v

d. 154x – 21v

e. 380x- 57v

Caso II: FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tienen factor común,separados los grupos por el signo del primer té

rmino de cada grupo.

La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal quelos dos términos que se agrupen

tengan al

gún factor común, y siempre que las cantidadesque quedan dentro del paréntesis después de sacar elfactor común en cad

a grupo, sean exactamente iguales.

Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del caso I, Factor Común

Ejemplos:

a) ax +bx +ay +by = (a+b)(x+y)

1. Agrupar términos que tienen factor común:

(ax+bx) + (ay+by)

2. Factorando por el factor común: x(a+b) + y(a+b)

3. Formando factores: uno con los términos con factor común y otros con los términos no comunes (a+b)(x+y), que es

la solución.

b) 3m 2 -6mn +4m -8n =

1. Agrupando términos que tiene factor común:

(3m 2 - 6mn) + (4m - 8n)

2. Factorar por el factor común: 3m(m-2n) + 4(m-2n)

3. Formando factores: (m-2n)(3m+4) <– Solución.

c) a 2 + ab + ax + bx

1. Agrupar términos con factor común:

(a 2 + ab ) + (ax + bx)

2. Factorar por el factor común: a(a+b) + x(a+b)

3.

Formando factores: (a+b) (a+x) <–Solución

d) am – bm + an - bn

1. Agrupar términos con factor común:

(am - bm) + (an - bn)

2. Factorar por el factor común: m(a-b) +n(a-b)

3. Formando factores: (a-b)(m+n) <– Solución.

e) ax - 2bx - 2ay + 4by

1. Agrupar términos con factor común:

(ax - 2bx) - (2ay – 4by)

2. Factorar por el factor común: x(a-2b)-2y(a-2b)

3. Formando factores: (a-2b)(x-2y) <– Solución.

CASO III TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de

las raíces.

Para solucionar un Trinomio cuadrado perfecto debemos:

1. organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada.

2. extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo

que acompaña al segundo término.

3.

el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. EJEMPLO:

a) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2

b) 4x 2 – 20xy + 25y 2 =

(2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y) 2

c) 16 + 40x 2 + 25x 4 =

(4 + 5x 2 ) (4 + 5x 2 ) = (4 + 5x 2 ) 2

d) 9b 2 – 30a 2 b + 25a 4 =

(3b – 5a 2 ) (3b – 5a 2 ) = (3b – 5a 2 ) 2

e) 400x 10 + 40x 5 + 1 =

(20 x 5 + 1) (20 x 5 + 1) = (20 x 5 + 1) 2

EL 2 DE LA DERECHA ESTA AL CUADRADO DEBE COLOCARSE MAS ARRIBA EN SU CUADERNO,

TALLER # 3

Resuelve los siguientes ejercicios del caso

a. 4+4x +x2

b. x2 +6x+9

c. 16+8x+x2

d. x2+10x + 25

e. 49y2 +14xy+x2

RECUERDE QUE EL 2 A LA DERECHA DE CADA VARIABLE SE LEE AL CUADRADO Y LO DEBE ESCRIBIR ARRIBA A LA DERECHA DE LA VARIABLE.

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos

paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las

raíces.

EJEMPLOS:

a) x 2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

b) x 2 - y 2 = (x + y).(x - y)

c) b 2 - 1 = (b + 1).(b - 1)

d) x 6 - 4 = (x 3 + 2).(x 3 - 2)

e) 36x 2 - a 6 b 4 = (6x + a 3 b 2 ).(6x - a 3 b 2 )

TALLER # 4

PROPONGA Y RESUELVE 5 EJERCICIOS DE ESTE CASO.

CASO V: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta),

pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.

x 2 + 2x + 9, no es un trinomio cuadrado perfecto.

Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo

número (semejante al segundo término) para que el segundo término sea el doble producto de las raíces cuadradas del

primer y último término. A este proceso se le denomina completar cuadrados.

Ejemplo: m 4 + 6m 2 + 25.

Para que m 4 + 6m 2 + 25, sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m 2 . Por esto, se le

debe sumar y restar al trinomio es 4m 2 , pues 6m 2 + 4m 2 = 10m 2 . Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición

y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza la expresión, primero como un trinomio cuadrado perfecto y después,

como una diferencia de cuadrados

EJERCICIO RESUELTO : Factorizar x 4 + 3x 2 + 4

SOLUCIÓN

x 4 + 3x 2 + 4

Raíz cuadrada de x 4 es x 2

Raíz cuadrada de 4 es 2

Doble producto de la primera raíz por la segunda: 2(x 2 )(2) = 4x 2

El trinomio x 4 + 3x 2 + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces:

x 4 + 3x 2 + 4

x 4 + 3x 2 + 4

+ x 2

- x 2 Se suma y se resta x 2

----------------------------------------

=(x 4 + 4x 2 + 4) - x 2 Se asocia convenientemente

=(x 2 + 2) 2 - x 2 Se factoriza el trinomio cuadrad perfecto

=[(x 2 + 2) - x] [(x 2 + 2) - x] Se factoriza la diferencia de cuadrados

=(x 2 + 2 + x) (x 2 + 2 - x) Se eliminan signos de agrupación

=(x 2 + x+ 2) (x 2 - x + 2) Se ordenan los términos de cada

factor .

Entonces: x 4 + 3x 2 + 4 = (x 2 - x+ 2) (x 2 - x + 2)

TALLER # 5

1. Resuelve los siguientes ejercicios del caso V

a) a 4 + a 2 + 1 f)

4x 4 - 29x 2 + 25

b) m 4 + m 2 n 2 + n 4 g) 16m 4 – 25m 2 n 2 + 9n 4

c) x 8 + 3x 4 + 4 h) 25a 4 + 54a 2 b 2 + 49b 4

d) a 4 + 2a 2 + 9 i) 81m 8 + 2m 4 + 1

e) a 4 - 3a 2 b 2 + b 4 j) 49x 8 + 76x 4 y 4 + 100y 8

TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c

Expresiones como x 2 + 5x +6, a 4 + 3a 2 - 10, son trinomios de la forma x 2 + bx + c.

Los trinomios de esta forma tienen las siguientes características:

1. El coeficiente del primer término es 1.

2. La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero con exponente a la mitad.

3. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos del trinomio.

Para factorizar un trinomio de la forma x 2 + bx + c, se buscan dos números m y n, tales que,

x 2 + bx + c = (x + m)(x + n); donde m + n = b y m.n = c

Esto quiere decir, que la suma o resta de estos dos números sea igual al coeficiente del segundo término y su producto

sea el tercer término; los signos de los factores es: en el primer factor se escribe el signo del segundo término del trinomio

y para el segundo factor se multiplican el signo del segundo término con el signo del tercer término.

EJERCICIOS RESUELTOS:

Factorizar.

1. x 2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

2. a 4 - 7a 2 - 30 = (a 2 - 10)(a 2 + 3)

3. m 2 + abcm - 56a 2 b 2 c 2 = (m + 8abc)(m - 7abc)

TALLER # 6

CONSIGUE EN ALGÚN TEXTO DE OCTAVO, EN EL LIBRO ÁLGEBRA DE BALDOR, VIA INTERNET 5 EJERCICIOS DE ESTE MODELO Y RESUELVELOS.

CASO VII. TRINOMIO DE LA FORMA ax 2 + bx + c

Expresiones como 2x 2 + 3x - 2, 6a 4 + 7a 2 + 2,

7m 6 - 33m 3 -10, son trinomios de la forma ax 2 + bx + c.

Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características:

1. El coeficiente del primer término es diferente de 1.

2. La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero con exponente a la mitad.

3. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos del trinomio.

Para factorizar trinomios de la forma ax 2 + bx + c, existen varias formas, a continuación se describirá una de ellas.

EJEMPLO

Factorizar 15x 4 - 23x 2 + 4

=15(15x 4 - 23x 2 + 4)

15

Se multiplica y se

divide el

trinomio por el coeficiente del

primer término.

=(15x 2 ) 2 - 23(15x) + 60 Se resuelve el producto del

15

primero y tercer término dejando

indicado el del segundo Término

=(15x 2 - 20)(15x 2 - 3 ) Se factoriza como en el caso del

15

trinomio de la

forma x 2 +bx +c,

ósea, se buscan dos números que

Multiplicados de 60 y sumados

23. (Se suman por que los

signos de los dos factore son

Iguales)

=5(3x 2 - 4) 3(5x 2 - 1)

Se factorizan los dos binomios

5 . 3

resultantes sacándoles factor

común monomio, se

descompone el 15 y por último

dividir,

15x 4 - 23x 2 + 4 = (3x 2 - 4)(5x 2 - 1)

TALLER # 7

1. Resuelve los siguientes ejercicios del caso VII

a) 2x 2 + 3x – 2 f)

12x 2 – x – 6

b) 3x 2 - 5x – 2 g) 4a 2 + 15a + 9

c) 6x 2 + 7x + 2 h) 10x 2 + 11x + 3

d) 5x 2 + 13x – 6 i) 12m 2 – 13m – 35

e) 6x 2 - 5x – 6 j) 20y 2 + y – 1

CASO VIII. CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra es un cubo perfecto, si cumple las siguientes condiciones:

1. Tener cuatro términos

2. El primer y último término sean cubos perfectos (tienen raíz cúbica exacta).

3. El segundo término es tres veces el producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del

último término.

4. El tercer término sea tres veces, el producto de la raíz del primer término por el cuadrado de la raíz del último

término.

5. El primer y tercer términos son positivos, el segundo y el cuarto términos tienen el mismo signo (positivo o negativo).

Si todos los términos son positivos, el polinomio dado es el cubo de la suma de las raíces cúbicas del primer y último

término. Y si los términos son alternadamente positivos y negativos el polinomio dado es el cubo de la diferencia de

las raíces.

RECUERDA: La raíz cúbica de un monomio se obtiene extrayendo la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el

exponente de cada letra entre 3.

Ejemplo: La raíz cúbica de 8a 3 b 6 es 2ab 2 . Por qué:

(2ab 2 ) = (2ab 2 )(2ab 2 )(2ab 2 ) = 8a 3 b 6

EJERCICIO:

Verificar si el siguiente polinomio es cubo perfecto y factorizarlo.

8x 3 + 12x 2 + 6x + 1

1.

2.

3.

4.

Verificar si la expresión cumple con las anteriores características.

Tiene cuatro términos.

La raíz cúbica de 8x 3 es 2x

La raíz cúbica de 1 es 1

3(2x) 2 (1) = 3(4x 2 )(1) = 12x 2 , segundo término

3(2x)(1) 2 = 6x, tercer término

Cumple las condiciones y como todos sus términos son positivos, entonces la expresión dada es el cubo de

(2x + 1) es la raíz cúbica de la expresión.

Luego,

8x 3 + 12x 2 + 6x + 1 = (2x + 1) 3

TALLER # 8

1. Resuelve los siguientes ejercicios del caso VIII

a) x 3 + 6x 2 + 12x + 8 } f) x 6 + 6x 4 + 12x 2 + 8

b) x 3 - 9x 2 + 27x - 27 g) 8x 3 + 36x 2 + 54x + 27

c) -x 3

-

75x

-

15x 2

-

125

h) a 3 x 3 + 6x 2 a 2 b + 12axb 2 + 8b 3

d) 64x 3 + 144x 2 + 108x + 27 i) -x 3 - 12x 2 - 48x – 64

e) a 3 b 3 + 3a 2 b 2 x + 3abx 2 + x 3 j) 8 - 36 X + 54 X 2 - 27 X 3

(2x + 1) o

CASO IX: SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS



Regla para la suma de cubos perfectos.

a 3 +b 3 = (a+b) (a 2 – ab + b 2 )

La suma de dos cubos perfectos, es igual a la suma de sus raíces cúbicas, (a+b); multiplicado por el cuadrado de la 1° raíz

cúbica, a 2 menos el producto de las dos raíces cúbicas, ab, más el cuadrado de la 2° raíz cúbica, b 2 .

Ejemplo: Factorar o descomponer en 2 factores:

27m 6 + 64n 9

1. Se encuentra las raíces cúbicas de

 27m 6 = 3m 2

 64n 9 = 4n 3

2.









Desarrollando la Regla:

Suma de las raíces cúbicas: (3m 2 + 4n 3 )

Cuadrado de la 1° raíz cúbica: (3m 2 ) 2 = 9m 4

Productos de las 2 raíces cúbicas: (3m 2 )(4n 3 ) = 12m 2 n 3

Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (4n 3 ) 2 = 16n 6

27m 6 + 64n 9 =

( 3m 2 +4n 3 )( 9m 4 -12m 2 n 3 +16n 6 ) Solución.



Regla para la diferencia de cubos perfectos.

a 3 -b 3 = (a -b)(a 2 +ab+b 2 )

La diferencia de dos cubos perfectos, es igual a la diferencia de sus raíces cúbicas, (a-b); multiplicado por el cuadrado de

la 1° raíz cúbica, a 2 , más el producto de las dos raíces cúbicas, ab, más el cuadrado de la 2° raíz cúbica,b 2 .

Ejemplo: Descomponer en 2 factores 8x 3 -125

1. Se encuentra las raíces cúbicas de:

 8x 3 = 2x

 125 = 5

2. Desarrollando la Regla:

 Suma de las raíces cúbicas: (2x -5)

 Cuadrado de la 1° raíz cúbica: (2x) 2 = 4x 2

 Producto de las 2 raíces cúbicas: (2x)(5) = 10x

 Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (5) 2 = 25

8x 3 -125= (2x -5)( 4x 2 +10x +25) Solución.

CASO X: SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES



Regla para La suma de dos potencias impares iguales

(m 5 + n 5 ) es igual a dos factores:







el primero es la suma de las raíces de los términos (m + n)

el segundo es el primer término elevado a la

5 -1 = 4,

menos el 1o término elevado a la 5 – 2 = 3 por el 2o término elevado a la 1, más el 1o término elevado a la 5 – 3 =

2 por el 2o término elevado al cuadrado, menos el 1o término elevado a la

5 – 4 = 1 por el 2o término elevado

al cubo, más el 2o término elevado a la cuarta.

(m 4 – m 3 n + m 2 n 2 – mn 3 + n 4 )



Regla para La diferencia de dos potencias impares iguales

(m 5 – n 5 ) es igual a dos factores:





el primero es la diferencia de las raíces de los términos (m-n)

el segundo es el primer término elevado a la

5 – 1 = 4, más el 1o término elevado a la 5 - 2= 3 por el 2o

término elevado a la 1, más el 1o término elevado a la 5-3=2 por el 2o término elevado al cuadrado, más el 1o término

elevado a la 5-4=1 por el 2o término elevado al cubo, más el 2o término elevado a la cuarta.

(m 4 + m 3 n + m 2 n 2 + mn 3 + n 4 )

Ejemplo:

Factorar

x 5 +32

1. Encontramos la raíz quinta de los términos:

raíz quinta de x 5 = x ; raíz quinta de 32 = 2

2. formamos el primer factor con las raíces: (x +2)

3. Formamos el segundo factor:

(x 4 – x 3 (2) + x 2 (2) 2 – x(2) 3 + (2) 4 ) =(x 4 – 2x 3 + 4x 2 – 8x + 16)

x 5 +32 = (x +2)(x 4 – 2x 3 + 4x 2 – 8x + 16) Solución

TALLER # 10

1. Resuelve los siguientes ejercicios del caso X

a) a 5 + 1

i) x 7 + 128

b) a 5 - 1 j) 243 – 32b 5

c) 1 – x 5 k) a 5 + b 5 c 5

d) a 7 + b 7 l) e) m 7 – n 7 m) a 7 – 2187

f)

a 5 + 243

g) 32 – m 5

h) 1 + 243x 5

m 7 – a 7 x 7

n) x 10 + 32y 5

o) 1 + 128x 4

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